Problemas del Siglo

• El director del Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad,  Alvaro Castañeda aprovecha el Día del Número Pi para escribir sobre la Conjetura Jacobiana un problema que sigue sin resolverse, pero que ha permitido generar avances en otras áreas de la ciencia. (1)

Durante el Congreso Internacional de Matemáticos realizado el año 1900 en la ciudad de París, el reconocido matemático alemán David Hilbert propuso una lista de veintitrés problemas abiertos (aún no resueltos en ese entonces). La lista reunía los problemas que él consideraba los más significativos y desafiantes para el desarrollo futuro de la matemática internacional. Actualmente, aquella lista es conocida como Los problemas de Hilbert.

Cien años después, inspirado por el espíritu Hilbertiano y su lista de desafiantes problemas, Vladímir I. Arnold (en representación de la Unión Matemática Internacional) escribió a diversos matemáticas/os para que describiesen algunos problemas en los cuales concentrarse durante el siglo XXI. La respuesta más conocida, o lo que yo al menos conozco de mejor manera, es la respuesta que dió Steve Smale (galardonado con la Medalla Fields y uno de las más influyentes matemáticos de los últimos setenta años). Smale enumeró una lista de dieciocho problemas seleccionados bajo tres criterios: Sencillez del enunciado, conocimiento personal del problema y la creencia en que la pregunta o sus soluciones tuviesen gran importancia para las matemáticas y el desarrollo del mundo.

Un ejemplo de simplicidad en su formulación es el problema  dieciséis de la lista presentada por Smale: “la Conjetura Jacobiana”. Dicho problema nos presenta el dilema de determinar, bajo ciertas condiciones técnicas, si una función polinomial de varias variables posee inversa polinomial o no. La sencillez del enunciado de esta conjetura se ve materializado en el hecho que puede ser presentado y explicado a estudiantes de segundo año de carreras STEM durante un curso de cálculo en varias variables.

La Conjetura Jacobiana fue establecida por el matemático alemán Ott-Heinrich Keller el año 1939, y a pesar de que podemos comprender fácilmente la pregunta que nos presentó Keller hace más de ochenta años, bastantes miembros de la comunidad matemática internacional han fallado en probar la veracidad de este problema incluso en dimensión dos. Sin embargo, todos los esfuerzos en determinar su veracidad o falsedad han generado múltiples avances en áreas de las matemáticas como la geometría algebraica,  sistemas dinámicos, álgebra conmutativa, entre otras; siendo ésta la segunda razón  del porqué Smale la incluyó en su respuesta a la invitación hecha por Arnold.

En este día internacional de las Matemáticas, instaurado por la Unesco el año 2019 (teniendo como premisa la importancia de que el ser humano conozca los orígenes de las matemáticas), la Conjetura Jacobiana nos puede dar luces de cómo divulgar esta ciencia a la sociedad. Comenzando por ejemplo con el camino que podría conllevar la resolución misma de un simple enunciado como el que nos dejó Keller… si es que se pudiese concretarse durante este siglo o alguno venidero.

(1) Este artículo fue publicado exactamente a las 15:00 para coincidir las primeras cifras de Pi: 3,1415.